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REVISTA INCAING  
ISSN 24489131  
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES  
COMPUTACIONALES DE LA CONVOLUCIÓN  
EN INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS  
Wendy Falina Espinosa Flores1, Diana Rojo Morales2, Francisco Miguel Hernández López3*  
1Escuela Preparatoria Regional de Tuxpan, Módulo Tonila/Universidad de Guadalajara  
2Centro Universitario del Sur/Universidad de Guadalajara  
3*Tecnológico Nacional de México/Instituto Tecnológico José Mario Molina Pasquel y  
Henríquez Unidad Académica Tamazula  
solving in dynamic systems, computer vision, and advanced  
numerical simulations.  
Resumen - Este artículo presenta un análisis integral de  
la convolución como operación matemática fundamental y  
su aplicación en teoría de números, análisis funcional e  
ingeniería computacional. Se examinan sus fundamentos  
algebraicos y su relación con el producto de Dirichlet,  
destacando su papel en el estudio de funciones aritméticas y  
series de Dirichlet.  
It is concluded that its transversal nature positions it as a  
strategic tool in both pure mathematics and applied sciences,  
fostering integration between formal theory and computational  
modeling.  
Key words: Convolution, Computational engineering, Digital  
image processing, Dirichlet product, Number theory.  
A partir de una revisión documental sistematizada, se  
identifican aplicaciones relevantes en procesamiento digital  
de imágenes, redes neuronales convolucionales, ecuaciones  
diferenciales fraccionarias y modelos farmacocinéticos. Los  
resultados evidencian que la convolución actúa como un  
puente estructural entre modelos matemáticos abstractos y  
desarrollos tecnológicos contemporáneos, permitiendo la  
resolución eficiente de problemas en sistemas dinámicos,  
visión artificial y simulaciones numéricas avanzadas.  
I.  
INTRODUCCIÓN  
La convolución constituye una operación matemática  
fundamental que articula estructuras algebraicas y analíticas  
con desarrollos computacionales contemporáneos. En la teoría  
de números, su formulación discreta se expresa mediante el  
producto de Dirichlet, herramienta esencial para el estudio de  
funciones aritméticas y su comportamiento multiplicativo, así  
como para el análisis de series asociadas a la función zeta de  
Riemann [1]. Esta estructura permite establecer relaciones  
formales entre propiedades de divisibilidad y transformaciones  
definidas sobre los enteros positivos.  
Se concluye que su carácter transversal la posiciona como  
una herramienta estratégica tanto en matemáticas puras  
como en ciencias aplicadas, favoreciendo la integración  
entre teoría formal y modelado computacional.  
Índice  
de  
Términos  
-
Convolución,  
Ingeniería  
Desde una perspectiva analítica, la convolución también  
aparece en el estudio de medidas y en espacios funcionales,  
donde interviene en la construcción de operadores y en la  
resolución de problemas asociados a ecuaciones diferenciales y  
estructuras de tipo Banach [2]. Estas formulaciones amplían su  
alcance hacia modelos continuos y discretos, consolidando su  
relevancia dentro del análisis matemático moderno.  
computacional, Procesamiento digital de imágenes,  
Producto de Dirichlet, Teoría de números.  
Abstract - This article presents a comprehensive analysis of  
convolution as a fundamental mathematical operation and its  
applications in number theory, functional analysis, and  
computational engineering. Its algebraic foundations and  
relationship with the Dirichlet product are examined,  
highlighting its role in the study of arithmetic functions and  
Dirichlet series.  
En el ámbito aplicado, la convolución desempeña un papel  
central en el procesamiento digital de imágenes, donde se  
emplea para la implementación de filtros de suavizado,  
detección de bordes y extracción de características mediante  
matrices kernel [3]. Asimismo, en el campo del aprendizaje  
automático, las redes neuronales convolucionales han  
convertido esta operación en un mecanismo esencial para la  
identificación de patrones y clasificación de datos en sistemas  
de visión artificial [4].  
Based on a systematized documentary review, relevant  
applications are identified in digital image processing,  
convolutional  
equations, and pharmacokinetic models. The results  
demonstrate that convolution serves as a structural bridge  
between abstract mathematical models and contemporary  
technological developments, enabling efficient problem-  
neural  
networks,  
fractional  
differential  
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Esta diversidad de aplicaciones evidencia que la convolución  
no constituye únicamente una herramienta algebraica abstracta,  
sino un mecanismo estructural transversal que integra teoría  
matemática formal y modelado computacional. En este  
contexto, el presente trabajo tiene como objetivo analizar la  
convolución desde su fundamento teórico hasta su proyección  
interdisciplinaria en aplicaciones científicas y tecnológicas  
actuales, mediante una revisión documental sistematizada.  
expresarse mediante núcleos convolucionales, facilitando la  
resolución de ecuaciones con memoria y modelos dinámicos  
complejos [5]. Esta conexión refuerza la idea de que la  
convolución actúa como un puente entre estructuras algebraicas  
discretas y formulaciones analíticas continuas.  
De este modo, los fundamentos matemáticos de la convolución  
muestran una doble naturaleza: por un lado, una estructura  
algebraica bien definida en el ámbito aritmético; por otro, una  
herramienta analítica capaz de modelar procesos dinámicos  
mediante operadores integrales. Esta dualidad explica su  
proyección posterior en aplicaciones computacionales y  
tecnológicas.  
II.  
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA  
CONVOLUCIÓN  
La convolución puede definirse, en su forma discreta, como una  
operación binaria entre funciones aritméticas definida sobre los  
enteros positivos. En el contexto de la teoría analítica de  
números, el producto de Dirichlet constituye una forma  
particular de convolución dada por ecuación (1):  
III.  
APLICACIONES COMPUTACIONALES Y  
TECNOLÓGICAS  
La proyección interdisciplinaria de la convolución se manifiesta  
de manera notable en el ámbito computacional. En el  
procesamiento digital de imágenes, la operación convolucional  
se implementa mediante el uso de matrices kernel que permiten  
modificar valores de píxeles en función de su vecindad. Este  
procedimiento posibilita la aplicación de filtros de suavizado,  
realce de bordes y detección de patrones, constituyéndose en  
una herramienta esencial para el análisis visual automatizado  
ꢂ
(
ꢀ
)( )  
ꢁ ꢂ =  
(
( )  
ꢁ
ꢃ
ꢀ
* +  
ꢃ
∗
|
#
!
(1)  
Donde la suma se extiende sobre todos los divisores positivos  
de n [1]. Esta operación dota al conjunto de funciones  
aritméticas de una estructura algebraica que permite estudiar  
propiedades multiplicativas y relaciones inversas, como ocurre  
con la función de Möbius y la función indicatriz de Euler.  
[3].  
La  
formulación  
matricial  
discreta  
facilita  
su  
implementación eficiente en sistemas digitales.  
En el contexto de algoritmos numéricos, se han desarrollado  
métodos especializados que optimizan el cálculo de  
convoluciones en problemas de gran escala, particularmente en  
la resolución de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos  
complejos [6]. Estas aproximaciones permiten reducir costos  
computacionales y mejorar la estabilidad numérica en  
aplicaciones científicas avanzadas.  
La relevancia estructural del producto de Dirichlet radica en que  
preserva la multiplicatividad bajo ciertas condiciones,  
permitiendo  
caracterizar  
funciones  
completamente  
multiplicativas y establecer relaciones fundamentales en el  
análisis de series de Dirichlet [1]. En este sentido, la  
convolución discreta no constituye simplemente una operación  
auxiliar, sino un mecanismo organizador dentro del estudio de  
la aritmética analítica.  
En el campo del aprendizaje automático, las redes neuronales  
convolucionales (CNN) han consolidado esta operación como  
núcleo estructural de sus arquitecturas. Mediante la aplicación  
repetida de filtros convolucionales, estas redes extraen  
características jerárquicas de los datos, facilitando tareas de  
clasificación y reconocimiento de imágenes con alta precisión  
[4]. La operación matemática original se transforma así en un  
mecanismo automatizado de extracción de información  
relevante.  
Desde el punto de vista del análisis matemático, la convolución  
se extiende a funciones definidas en espacios continuos  
mediante la expresión integral ecuación (2):  
$
(
ꢀ
)( )  
ꢁ ꢂ =  
-
%
( ) (  
)
ꢃꢄ  
ꢀ
ꢁ
∗
ꢄ
ꢅ
ꢄ
−
$
(2)  
La cual desempeña un papel central en el análisis funcional y  
en la teoría de operadores lineales. En particular, la convolución  
de medidas radonianas en espacios de Banach permite  
generalizar esta operación dentro de contextos abstractos,  
ampliando su alcance hacia problemas de carácter estructural  
[2].  
Asimismo, en aplicaciones biomédicas y biotecnológicas, la  
convolución se emplea para modelar la respuesta de sistemas  
biológicos ante estímulos externos, describiendo la relación  
entre señales de entrada y salida mediante productos  
convolucionales [7]. En el ámbito óptico, su vínculo con la  
transformada de Fourier permite analizar patrones de difracción  
y simular sistemas físicos mediante modelos matemáticos  
avanzados [8].  
Asimismo, la relación entre convolución  
y
derivadas  
fraccionarias ha sido objeto de estudio reciente, donde se  
evidencia que ciertos operadores diferenciales pueden  
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Finalmente, desde una perspectiva educativa en ingeniería,  
diversos estudios han señalado la importancia de integrar el  
formalismo matemático con aproximaciones algorítmicas para  
favorecer una comprensión más profunda del teorema de  
convolución [9], [10]. Esta dimensión didáctica refuerza la  
necesidad de articular teoría y aplicación dentro de la formación  
científica.  
como operación estructural transversal.  
Con el propósito de sistematizar los principales enfoques  
matemáticos identificados en la literatura, la Tabla I presenta  
una síntesis de las formulaciones estructurales de la  
convolución y sus respectivos dominios teóricos.  
TABLA I. Enfoques matemáticos de la convolución  
En conjunto, estas aplicaciones evidencian que la convolución  
no solo constituye una operación abstracta, sino una  
herramienta estructural que articula matemáticas puras,  
modelado computacional y desarrollo tecnológico.  
Enfoque  
Algebraico  
discreto  
Formulación  
Producto de Dirichlet  
Referencias  
[1]  
Analítico  
continuo  
Operadores  
diferenciales  
Convolución integral en  
espacios funcionales  
Núcleos convolucionales  
y derivadas  
[2], [5]  
[5]  
IV.  
METODOLOGÍA  
El presente estudio se desarrolló bajo un enfoque de revisión  
documental analítica, orientado a examinar la evolución  
conceptual y las aplicaciones interdisciplinarias de la operación  
de convolución. Se analizaron diez fuentes académicas  
especializadas, seleccionadas por su relevancia teórica y  
aplicativa en matemáticas puras, análisis funcional, ingeniería  
computacional y aplicaciones tecnológicas.  
Como se observa en la Tabla I, la convolución adopta una doble  
naturaleza: discreta en el ámbito algebraico y continua en el  
análisis funcional. Esta dualidad explica su capacidad de  
articular estructuras aritméticas con modelos integrales más  
generales, consolidando su papel como operación transversal en  
matemáticas puras y aplicadas.  
A.  
Criterios de selección.  
Desde una perspectiva interdisciplinaria, las aplicaciones  
identificadas evidencian la expansión conceptual de la  
convolución hacia múltiples áreas científicas y tecnológicas. La  
Tabla II organiza estas aplicaciones de acuerdo con su campo  
de desarrollo.  
Se consideraron trabajos que cumplieran con al menos uno de  
los siguientes criterios:  
Desarrollo formal del concepto de convolución en  
teoría de números.  
Extensiones analíticas en espacios funcionales.  
Aplicaciones computacionales en procesamiento  
digital.  
Implementaciones en inteligencia artificial.  
Aplicaciones en modelado físico o biotecnológico.  
Estudios didácticos en formación ingenieril  
•
TABLA II. Aplicaciones interdisciplinarias de la convolución  
•
•
Área  
Procesamiento  
digital  
Tipo de aplicación  
Filtros y matrices kernel  
Referencias  
[3]  
•
•
•
Aprendizaje  
automático  
Modelado  
biológico  
Redes  
neuronales  
[4]  
[7]  
.
convolucionales  
Sistemas dinámicos  
respuesta  
y
Las fuentes incluyeron artículos científicos arbitrados,  
memorias académicas y tesis especializadas, priorizando  
publicaciones con respaldo institucional y rigor matemático.  
farmacocinética  
Patrones de difracción  
Optimización  
Óptica  
Algoritmos  
numéricos  
[8]  
[6]  
computacional  
La clasificación presentada en la Tabla II muestra que, pese a la  
diversidad de contextos, todas las aplicaciones comparten un  
núcleo estructural común: la transformación de señales o  
funciones mediante un operador de agregación dependiente del  
desplazamiento. Esta característica matemática subyacente  
confirma la coherencia conceptual entre teoría y práctica.  
B.  
Procedimiento de análisis.  
El análisis se realizó en tres fases:  
1. Clasificación temática: agrupación de los estudios en  
categorías conceptuales (fundamentos algebraicos, análisis  
funcional, aplicaciones computacionales y aplicaciones  
interdisciplinarias).  
V.  
RESULTADOS  
2. Comparación estructural: identificación de similitudes y  
diferencias en la formulación matemática empleada.  
3. Síntesis integradora: elaboración de un esquema  
conceptual que articula la convolución discreta y continua  
El análisis documental permitió identificar que la convolución  
opera como un mecanismo estructural común en dominios  
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matemáticos y tecnológicos aparentemente disímiles. A partir  
de la clasificación presentada en las Tablas I y II, se distinguen  
dos ejes fundamentales: (i) su formalización algebraico-  
analítica y (ii) su implementación computacional aplicada.  
dominios tan diversos como la teoría de números, el análisis  
funcional y el aprendizaje automático.  
Desde una perspectiva conceptual, la revisión evidencia que la  
transición de la convolución discreta al ámbito continuo no  
implica una ruptura teórica, sino una extensión natural de su  
formalismo. El producto de Dirichlet y la convolución integral  
comparten un principio común: la agregación sistemática de  
valores mediante una regla de composición estructurada. Este  
núcleo formal es el que permite su posterior adaptación a  
matrices discretas en procesamiento digital o a filtros  
jerárquicos en redes neuronales.  
En el eje algebraico, el producto de Dirichlet define una  
estructura interna en el conjunto de funciones aritméticas,  
permitiendo caracterizar propiedades multiplicativas  
y
relaciones inversas [1]. Esta formulación discreta preserva  
coherencia estructural cuando se extiende al análisis funcional  
mediante operadores integrales [2], [5]. La revisión evidencia  
que, aunque los contextos varían, el principio subyacente  
consiste en la combinación sistemática de funciones mediante  
desplazamientos controlados.  
Sin embargo, la literatura revisada muestra que, en algunos  
contextos aplicados, la implementación computacional tiende a  
privilegiar la eficiencia algorítmica sobre la comprensión  
conceptual del operador matemático. Esta disociación puede  
generar una brecha entre el fundamento teórico y su uso  
tecnológico, particularmente en procesos formativos en  
ingeniería. La necesidad de integrar formalismo y aplicación  
práctica ha sido señalada en estudios didácticos, lo que sugiere  
que la comprensión estructural de la convolución debe  
fortalecerse en la formación científica.  
En el eje computacional, la implementación matricial discreta  
utilizada en procesamiento digital [3] y la aplicación iterativa  
en arquitecturas de redes neuronales [4] conservan el mismo  
núcleo matemático: la agregación ponderada dependiente de un  
parámetro de traslación. Esta correspondencia estructural  
sugiere que la convolución puede interpretarse como un  
operador de agregación con invariancia traslacional, propiedad  
que se mantiene tanto en formulaciones discretas como  
continuas. Dicha invariancia constituye el elemento matemático  
que  
permite  
su  
generalización  
hacia  
arquitecturas  
Asimismo, aunque las aplicaciones interdisciplinarias  
demuestran la versatilidad del operador, la revisión también  
revela que no siempre se explicita el vínculo conceptual entre  
las distintas formulaciones. En este sentido, uno de los aportes  
del presente trabajo consiste en evidenciar la coherencia  
estructural que subyace a estas aplicaciones, proponiendo una  
lectura integradora que conecta modelos discretos, continuos y  
computacionales.  
computacionales modernas.  
Adicionalmente, las aplicaciones en modelado biológico [7] y  
análisis óptico [8] muestran que la convolución permite  
describir sistemas donde la salida depende de la acumulación  
histórica de estímulos, característica asociada a sistemas con  
memoria. En el ámbito numérico, los desarrollos algorítmicos  
optimizan su cálculo sin alterar su fundamento estructural [6].  
Como línea futura de investigación, resulta pertinente  
profundizar en la construcción de marcos teóricos que articulen  
explícitamente la transición entre formulaciones algebraicas y  
arquitecturas computacionales modernas, particularmente en  
entornos de inteligencia artificial, donde la operación  
convolucional ha adquirido un protagonismo tecnológico sin  
que siempre se reconozca su fundamento matemático profundo.  
En conjunto, los resultados de la revisión permiten afirmar que  
la convolución actúa como una operación unificadora que  
conecta:  
Teoría de números (estructura multiplicativa),  
Análisis funcional (operadores integrales),  
Procesamiento digital (filtros discretos),  
Inteligencia artificial (extracción jerárquica de  
características),  
•
•
•
•
Una limitación del presente estudio radica en su carácter  
documental, ya que no se realizó una validación experimental  
de los modelos analizados. Sin embargo, el objetivo fue  
establecer una síntesis conceptual transversal más que evaluar  
desempeño cuantitativo.  
Modelado físico y biológico (respuesta dinámica).  
•
Esta transversalidad no constituye una simple coincidencia  
metodológica, sino la manifestación de una propiedad  
matemática profunda: la capacidad de modelar interacción  
dependiente de desplazamiento.  
VII.  
CONCLUSIONES  
El análisis desarrollado permite afirmar que la convolución  
constituye una operación matemática estructural cuya  
relevancia trasciende su formulación original en la teoría de  
números. Tanto en su versión discreta como continua, la  
convolución mantiene un principio común de agregación  
dependiente de desplazamiento, lo que le confiere coherencia  
VI.  
DISCUSIÓN  
El análisis realizado permite sostener que la convolución  
constituye una estructura matemática transversal cuya  
relevancia no depende exclusivamente de su formulación  
algebraica o analítica, sino de su capacidad de modelar  
interacciones dependientes de desplazamiento en distintos  
contextos. Esta propiedad estructural explica su permanencia en  
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conceptual a través de distintos dominios matemáticos y  
tecnológicos.  
[9] E. Bosquez, J. Lezama, and C. Mora, “Algunas reflexiones  
de contraste del formalismo con la algoritmia en la enseñanza  
del teorema de convolución en escuelas de ingeniería,” Acta  
Latinoamericana de Matemática Educativa, vol. 23, pp. 361–  
368, 2010.  
La revisión documental evidencia que el producto de Dirichlet  
y
la  
convolución  
integral  
representan  
expresiones  
[10] E. Bosquez, A. Romo, and J. Lezama, “Análisis de una  
secuencia didáctica para dar sentido al teorema de convolución  
en formación de ingenieros,” in Memoria de la XIV Escuela de  
Invierno en Matemática Educativa, pp. 484–492, 2011.  
complementarias de una misma estructura formal, la cual se  
proyecta posteriormente en aplicaciones computacionales  
como el procesamiento digital de imágenes y las redes  
neuronales convolucionales. Esta continuidad demuestra que la  
operación no se transforma esencialmente al cambiar de  
contexto, sino que adapta su formalización a las necesidades del  
entorno disciplinar.  
Asimismo, se identifica que la transversalidad de la  
convolución radica en su capacidad para modelar interacción,  
acumulación y dependencia histórica en sistemas dinámicos, lo  
que explica su presencia en modelado físico, biotecnológico y  
algoritmos numéricos avanzados.  
Finalmente, se concluye que la convolución puede entenderse  
como un operador unificador que articula teoría matemática y  
desarrollo  
tecnológico  
contemporáneo,  
destacando  
la  
importancia de preservar su comprensión estructural en  
procesos formativos y de investigación interdisciplinaria. Esta  
perspectiva permite reconsiderar la convolución no solo como  
herramienta técnica, sino como categoría estructural central en  
la matemática contemporánea aplicada.  
REFERENCIAS  
[1] T. M. Apostol, Introducción a la teoría analítica de números.  
Barcelona, España: Editorial Reverté, 1980.  
[2] L. Posada Vera and G. Restrepo, “Convolución de medidas  
radonianas con valores en álgebras de Banach separables,”  
Matemáticas: Enseñanza Universitaria, vol. 20, no. 1, pp. 49–  
62, 2012.  
[3] F. Giménez-Palomares, J. A. Monsoriu, and E. Alemany-  
Martínez, “Aplicación de la convolución de matrices al filtrado  
de imágenes,” Modelling in Science Education and Learning,  
vol. 9, no. 2, pp. 5–17, 2016, doi: 10.4995/msel.2016.4524.  
[4] F. Fortanel Rojas, “Redes neuronales convolucionales en la  
clasificación de cultivos,” Tesis de licenciatura, Universidad  
Nacional Autónoma de México, México, 2019.  
[5] C. E. Mejía, “Una convolución muy útil y unas derivadas  
ilustres,” Revista de la Academia Colombiana de Ciencias  
Exactas, Físicas y Naturales, vol. 43, no. 168, pp. 563–571,  
2019, doi: 10.18257/raccefyn.767.  
[6] L. Banjai and M. López-Fernández, “Efficient convolution  
algorithms adapted to applications,” in Congreso Bienal de la  
Real Sociedad Matemática Española, Ciudad Real, España,  
2022.  
[7] A. I. Estrada Roa, “Uso del producto de convolución en el  
método modelo-independiente del factor de crecimiento  
epidérmico para ingeniería genética,” Asociación Argentina de  
Matemática Aplicada, Computacional, 2012.  
[8] E. Andrés-Zárate, Q. Angulo-Córdova, G. Gutiérrez-  
Tepach, and J. A. Hernández-Nolasco, “Modelo matemático de  
convolución y el patrón de difracción,” Journal of Energy,  
Engineering Optimization and Sustainability, vol. 2, no. 2, pp.  
1–12, 2018, doi: 10.19136/jeeos.a2n2.2792.  
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